Les séries entières chez Newton

Buffon en rédigeant en 1736 la préface de satraduction de La méthode des fluxions et dessuites infinies de M. le chevalier Newtontémoigne de l'importance qu'ont eu les travaux dusavant anglais dans l'histoire des mathématiques : 

Nous n'ajouterons qu'un mot à cette Préface déjàtrop longue, c'est que quiconque apprendra leCalcul de l'Infini dans ce Traité de Newton, quien est lavraie source, aura des idées claires de la chose,& fera fort peu de cas de toutes les objections qu'on a faites, ou qu'on pourrait faire contrecette sublime méthode.

Cette sublime méthode estfondamentalement novatrice. Le jeune Newton,étudiant de Cambridge qui rédige l'essentiel deses théories et outils mathématiques au milieu dela décennie 1660, hérite du renouvellement de lapensée mathématique du XVIIème siècle dont il tireun ensemble d'éléments servant de base à sespropres travaux et donc à ses propres créations. Aussi est-il appelé à rencontrer les problèmesmathématiques désormais classiques de quadratureset autres, à l'image des rectifications.

C'est cette confrontation qui le pousse à réfléchir àun outil mathématique nouveau, un outilmathématique efficace mais qu'il avouera lui-mêmeêtre peu rigoureux, un outil mathématique à biendes égards précurseur des travaux mathématiquesdes XVIIIème et XIXème siècles. Cet outil, ils'agit des séries entières. Le recours à cesséries entières ne va pourtant pas nécessairementde soi.

Il faut donc chercher à comprendre ce qu'apu être le cheminement intellectuel de Newton, aumilieu des recherches et travaux de son temps, quile conduit à la réalisation d'un tel outil. Plusencore, la manière dont ces séries entières sontprésentées, mises en places, utilisées dans leureffectivité et dans leurs fins sont à interroger,à questionner et à comprendre an de saisir à lafois ce en quoi constitue la méthode mathématiquenewtonienne mais aussi ses limites et sesapproximations.

Aussi retracerons-nous, dans cetteperspective, le temps de cette constructionthéorique dans ses dimensions historiques, tant dupoint de vue de la vie personnelle de Newton quedu contexte mathématique du milieu du XVIIèmesiècle, avant de plonger au sein du Traité desfluxions et étudier de près le traitement faitpar son auteur des séries entières. Enn, notreconclusion sera l'occasion de souligner leslimites de la méthode newtonienne mais aussi sesconséquences à une échelle plus petite surl'histoire des mathématiques. (...)?